Método de la Potencia Iterada

Si A es una matriz diagonizable, cuyo valor propio mayor en módulo está aislado, entonces, el método iterativo que se describe a continuación, converge a un vector propio asociado a dicho valor propio, como se establece en el teorema que sigue.

Teorema 5.4.1. Si los valores propios de A satisfacen

y si v₁,v₂,...,v_n, denotan vectores propios linealmente independientes, asociados respectivamente a los valores propios anteriores, entonces la sucesión de vectores generada por

converge a ±v₁, cuando k , siempre que la adivinanza inicial, z⁽⁰⁾, tenga alguna componente en v₁. La velocidad de esta convergencia será mayor, mientras menor sea el cuociente < 1.

Demostración. . Como los vectores propios v₁,v₂,...,v_n, forman una base de ⁿ, entonces z⁽⁰⁾ = _i₌₁ⁿ_iv_i, con ₁0 para satisfacer la condición de tener alguna componente en el primer vector propio. De este modo se tendrá que

(5.7)

Por otra parte

1 1 1 1 z(2) = ||||-(2)||||--w(2) = ||||--(1)||||--Az(1) = ||||-------------||||--.||||---(0)||||--A2z(0) w oo Az oo ||||---1(0)--A2z(0)|||| Az oo ||Az || oo oo

y en general, se puede probar por inducción que k > 0

Usando (5.7) en esta ecuación se obtiene

( ) (k) -----------s----------- sum n ( ai)(-ci)k z = |||| n sum (a )(c )k |||| v1 + a1 c1 vi , ||||v1 + ai1 ci1 vi|||| i=2 i=2 oo

donde denota un signo.

De la ecuación (5.4.1) se deducen todas las afirmaciones del Teorema (5.4.1), que queda así demostrado. __

Hacemos ver que en cada iteración, se produce simultáneamente una aproximación del valor propio ₁. En efecto, cualquiera sea el índice j de una componente no nula del vector z⁽^k^-¹⁾, el cuociente

(k) c(k) = -wj--- 1 z(kj-1)

será una aproximación del valor propio que convergerá en la misma medida en que la sucesión de vectores producida por el método de la Potencia Iterada converja al vector propio. Para garantizar la división por una coordenada no nula se escoge el índice j donde se alcanza el máximo de los módulos de éstas, es decir,